Все формулы по математике - ЦТ-2027

Формулы для ЦТ-2027 по математике

Формулы сокращённого умножения
Арифметическая и геометрическая прогрессии
Вероятность
Свойства степеней
Свойства логарифмов
Тригонометрия
Производные
Первообразные
Геометрия

Формулы сокращённого умножения

`(a + b)^2=a^2 + 2ab + b^2`
`(a − b)^2=a^2 − 2ab + b^2`
`a^2 − b^2=(a + b)(a − b)`
`a^3 + b^3=(a + b)(a^2 − ab + b^2)`
`a^3 − b^3=(a − b)(a^2 + ab + b^2)`
`(a + b)^3=a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3`	Эти две формулы заучивать не обязательно, но желательно
`(a − b)^3=a^3 − 3a^2b + 3ab^2 − b^3`

Прогрессии

Арифметическая прогрессия:

`a_n=a_(n-1)+d`

`a_n=a_1+(n-1)*d`

`S_n=((a_1+a_n)*n)/2`

Геометрическая прогрессия:

`b_n=b_(n-1)*q`

`b_n=b_1*q^(n-1)`

`S_n=((q^n-1)*b_1)/(q-1)`

Бесконечно убывающая: `S=b_1/(1-q)`

Вероятность

Вероятность события A:	`P(A)=m/n`	m - число благоприятных событий n - общее число событий
События происходят A и B происходят одновременно	`A*B`
Независимые события:	`P(A*B)=P(A)*P(B)`	Когда вероятность одного события (А) не зависит от другого события (B)
Зависимые события:	`P(A*B)=P(A)*P(B|A)`	`P(B|A)` - вероятность события B при условии, что событие A наступило
Происходит или событие A, или B	`A+B`
Несовместные события:	`P(A+B)=P(A)+P(B)`	Когда невозможно наступление обоих событий одновременно, т.е. `P(A*B)=0`
Совместные события:	`P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A*B)`	Когда оба события могут наступить одновременно

Свойства степеней

`a^0=1`	`a^1=a`
`a^(-1)=1/a`	`a^(-n)=1/a^n`
`a^(1/2)=sqrt(a)`	`a^(1/n)=root(n)(a)`
`a^m*a^n=a^(m+n)`	`a^m/a^n=a^(m-n)`
`(a*b)^n=a^n*b^n`	`(a/b)^n=a^n/b^n`
`(a^m)^n=a^(m*n)`	`a^(m/n)=root(n)(a^m)`

Свойства логарифмов

`log_ab=c``a^c=b`	Определение логарифма
`log_a1=0`
`log_aa=1`
`log_a(b*c)=log_ab+log_ac`
`log_a(b/c)=log_ab-log_ac`
`log_ab^n=n*log_ab`
`log_(a^m)b=1/m*log_ab`
`log_ab=1/(log_ba)`
`log_ab=(log_cb)/(log_ca)`
`a^(log_cb)=b^(log_ca)`
`a^(log_ab)=b`

Тригонометрия

`alpha`	`0`	`pi/6`	`pi/4`	`pi/3`	`pi/2`	`pi`	`(3pi)/2`	`2pi`
	`0^circ`	`30^circ`	`45^circ`	`60^circ`	`90^circ`	`180^circ`	`270^circ`	`360^circ`
`sinalpha`	`0`	`1/2`	`sqrt(2)/2`	`sqrt(3)/2`	`1`	`0`	`-1`	`0`
`cosalpha`	`1`	`sqrt(3)/2`	`sqrt(2)/2`	`1/2`	`0`	`-1`	`0`	`1`
`text(tg)alpha`	`0`	`sqrt(3)/3`	`1`	`sqrt(3)`	`infty`	`0`	`infty`	`0`
`text(ctg)alpha`	`infty`	`sqrt(3)`	`1`	`sqrt(3)/3`	`0`	`infty`	`0`	`infty`

Основные соотношения

`sin^2alpha+cos^2alpha=1`	Основное тригонометрическое тождество
`text(tg)alpha=sinalpha/cosalpha=1/(text(ctg)alpha)`

Формулы двойного угла

`cos2alpha={(cos^2alpha-sin^2alpha),(1-2sin^2alpha),(2cos^2alpha-1):}`	Три варианта формулы
`sin2alpha=2sinalphacosalpha`
`text(tg)2alpha=(2text(tg)alpha)/(1-text(tg)^2alpha)`

Формулы суммы и разности аргументов

`sin(alpha+-beta)=sinalphacosbeta+-cosalphasinbeta`

`cos(alpha+-beta)=cosalphacosbeta∓sinalphasinbeta`

`text(tg)(alpha+-beta)=(text(tg)alpha+-text(tg)beta)/(1∓text(tg)alpha*text(tg)beta)`

Преобразование суммы и разности в произведение

`sinalpha+-sinbeta=2sin((alpha+-beta)/2)cos((alpha∓beta)/2)`

`cosalpha+cosbeta=2cos((alpha+beta)/2)cos((alpha-beta)/2)`

`cosalpha-cosbeta=-2sin((alpha+beta)/2)sin((alpha-beta)/2)`

Формулы половинного аргумента

`sin(alpha/2)=+-sqrt((1-cosalpha)/2)`	Это можно не запоминать, но необходимо уметь выводить из формулы косинуса двойного угла
`cos(alpha/2)=+-sqrt((1+cosalpha)/2)`
`text(tg)(alpha/2)=+-sqrt((1-cosalpha)/(1+cosalpha))=(1-cosalpha)/sinalpha=sinalpha/(1+cosalpha)`

Обратные тригонометрические функции

`sinx=A`	`x=(-1)^k*arcsinA + pik` или `{(x=arcsinA + 2pik),(x=pi-arcsinA+2pik):}`	`kinZZ`
`cosx=A`	`x=±arccosA + 2pik`	`kinZZ`
`tg x=A`	`x=text(arctg) A + pik`	`kinZZ`
`ctg x=A`	`x=text(arcctg) A + pik`	`kinZZ`

Также некоторые тригонометрические соотношения смотрите в разделе Геометрия.

Производные

Основные правила дифференцирования

`(u+-v)'=u'+-v'`
`(u*v)'=u'*v+u*v'`
`(u/v)^'=(u'*v-u*v')/v^2`
`[f(g(x))]'=f'(g(x))*g'(x)`	Производная сложной функции

Уравнение касательной

`y=f(x_0)+f'(x_0)*(x-x_0)`	`(x_0;f(x_0))` - координаты точки касания
Эквивалентная запись: `y-y_0=f'(x_0)*(x-x_0)`

Производные элементарных функций

`C'=0`	`(C*x)'=C`
`(x^m)'=mx^(m-1)`	`(sqrtx)'=1/(2sqrtx)`
`(1/x)^'=-1/x^2`
`(e^x)'=e^x`	`(lnx)'=1/x`
`(a^x)'=a^x*lna`	`(log_ax)'=1/(xlna)`	Эту пару формул нужно уметь выводить
`(sinx)'=cosx`	`(cosx)'=-sinx`
`(text(tg)x)'=1/cos^2x`	`(text(ctg)x)'=-1/sin^2x`
`(arcsinx)'=1/sqrt(1-x^2)`	`(arccosx)'=-1/sqrt(1-x^2)`	Производные обратных функций в ЕГЭ практически не встречаются
`(text(arctg))=1/(1+x^2)'`	`(text(arcctg))'=-1/(1+x^2)`

Первообразные

Первообразная:	`F'(x)=f(x)`
Неопределённый интеграл:	`intf(x)dx=F(x)+C`
Определённый интеграл (формула Ньютона-Лейбница):	`int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)`		Площадь под графиком `y=f(x)` от `a` до `b`

Таблица первообразных

 

`f(x)`	`F(x)`		`f(x)`	`F(x)`
`a`	`ax`
`x^n`	`x^(n+1)/(n+1)`		`1/x`	`lnx`
`e^x`	`e^x`		`a^x`	`a^x/lna`
`sinx`	`-cosx`		`cosx`	`sinx`
`1/cos^2x`	`text(tg)x`		`1/sin^2x`	`-text(ctg)x`
`1/(x^2+a^2)`	`1/atext(arctg)x/a`		`1/(x^2-a^2)`	`1/(2a)ln|(x-a)/(x+a)|`
`1/sqrt(a^2-x^2)`	`text(arcsin)x/a`		`1/sqrt(x^2+a)`	`ln|x+sqrt(x^2+a)|`

Геометрия

Планиметрия (2D)

Тригонометрия:	`sinA=a/c`   `cosA=b/c`
	`text(tg)A=sinA/cosA=a/b`
Теорема косинусов:	`c^2=a^2+b^2-2ab*cosC`
Теорема синусов:	`a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R`		где R - радиус описанной окружности
Уравнение окружности:	`(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2`	где `(x_0;y_0)` - координаты центра окружности
Соотношение вписанного и центрального углов:	`beta=alpha/2=(uualpha)/2`
Описанная окружность, треугольник:	`R=(abc)/(4S)`		См. также теорему синусов. Центр лежит на пересечении срединных перпендикуляров.
Вписанная окружность, треугольник:	`r=S/p`		где p - полупериметр многоугольника. Центр лежит на пересечении биссектрис.
Описанная окружность, четырёхугольник:	`alpha+gamma=beta+delta=180^circ`
Вписанная окружность, четырёхугольник:	`a+c=b+d`
Свойство биссектрисы:	`a/x=b/y`
Теорема о пересекающихся хордах:	`AM*BM=CM*DM`		Эти теоремы необходимо уметь выводить
Теорема об угле между касательной и хордой:	`alpha=1/2uuAB`
Теорема о касательной и секущей:	`CM^2=AM*BM`
Теорема об отрезках касательных:	`AB=AC`

Площади фигур:

Окружность:	`S=pir^2`
Треугольник:	`S=1/2ah`
Параллелограмм:	`S=ah`
Четырёхугольник:	`S=1/2d_1d_2sinvarphi`	У ромба `varphi=90^@`
Трапеция:	`S=(a+b)/2*h`

Стереометрия (3D)

Призма:	`V=S_(осн)h`
Пирамида:	`V=1/3S_(осн)h`
Конус:	`V=1/3S_(осн)h`
	`S_(бок)=pirl`
Цилиндр:	`V=pir^2h`	Формулы цилиндра нужно уметь выводить
	`S_(бок)=2pirh`
Шар:	`V=4/3pir^3`
	`S=4pir^2`