Формулы для ОРТ-2025 по математике
Формулы сокращённого умножения
Арифметическая и геометрическая прогрессии
Вероятность
Свойства степеней
Свойства логарифмов
Тригонометрия
Производные
Первообразные
Геометрия
Формулы сокращённого умножения
`(a + b)^2=a^2 + 2ab + b^2` | |
`(a − b)^2=a^2 − 2ab + b^2` | |
`a^2 − b^2=(a + b)(a − b)` | |
| |
`a^3 + b^3=(a + b)(a^2 − ab + b^2)` | |
`a^3 − b^3=(a − b)(a^2 + ab + b^2)` | |
| |
`(a + b)^3=a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3` |
`(a − b)^3=a^3 − 3a^2b + 3ab^2 − b^3` |
Прогрессии
Арифметическая прогрессия:
`a_n=a_(n-1)+d` |
`a_n=a_1+(n-1)*d` |
`S_n=((a_1+a_n)*n)/2` |
Геометрическая прогрессия:
`b_n=b_(n-1)*q` |
`b_n=b_1*q^(n-1)` |
`S_n=((q^n-1)*b_1)/(q-1)` |
Бесконечно убывающая: `S=b_1/(1-q)` |
Вероятность
Вероятность события A: | `P(A)=m/n` |
| | |
События происходят A и B происходят одновременно | `A*B` | |
Независимые события: | `P(A*B)=P(A)*P(B)` |
Зависимые события: | `P(A*B)=P(A)*P(B|A)` |
| | |
Происходит или событие A, или B | `A+B` | |
Несовместные события: | `P(A+B)=P(A)+P(B)` |
Совместные события: | `P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A*B)` |
Свойства степеней
`a^0=1` | `a^1=a` |
`a^(-1)=1/a` | `a^(-n)=1/a^n` |
`a^(1/2)=sqrt(a)` | `a^(1/n)=root(n)(a)` |
`a^m*a^n=a^(m+n)` | `a^m/a^n=a^(m-n)` |
`(a*b)^n=a^n*b^n` | `(a/b)^n=a^n/b^n` |
`(a^m)^n=a^(m*n)` | `a^(m/n)=root(n)(a^m)` |
Свойства логарифмов
`log_ab=c``a^c=b` |
`log_a1=0` | |
`log_aa=1` | |
`log_a(b*c)=log_ab+log_ac` | |
`log_a(b/c)=log_ab-log_ac` | |
`log_ab^n=n*log_ab` | |
`log_(a^m)b=1/m*log_ab` | |
`log_ab=1/(log_ba)` | |
`log_ab=(log_cb)/(log_ca)` | |
`a^(log_cb)=b^(log_ca)` | |
`a^(log_ab)=b` | |
Тригонометрия
`alpha` | `0` | `pi/6` | `pi/4` | `pi/3` | `pi/2` | `pi` | `(3pi)/2` | `2pi` |
`0^circ` | `30^circ` | `45^circ` | `60^circ` | `90^circ` | `180^circ` | `270^circ` | `360^circ` |
`sinalpha` | `0` | `1/2` | `sqrt(2)/2` | `sqrt(3)/2` | `1` | `0` | `-1` | `0` |
`cosalpha` | `1` | `sqrt(3)/2` | `sqrt(2)/2` | `1/2` | `0` | `-1` | `0` | `1` |
`text(tg)alpha` | `0` | `sqrt(3)/3` | `1` | `sqrt(3)` | `infty` | `0` | `infty` | `0` |
`text(ctg)alpha` | `infty` | `sqrt(3)` | `1` | `sqrt(3)/3` | `0` | `infty` | `0` | `infty` |
Основные соотношения
`sin^2alpha+cos^2alpha=1` |
`text(tg)alpha=sinalpha/cosalpha=1/(text(ctg)alpha)` | |
Формулы двойного угла
`cos2alpha={(cos^2alpha-sin^2alpha),(1-2sin^2alpha),(2cos^2alpha-1):}` |
`sin2alpha=2sinalphacosalpha` | |
`text(tg)2alpha=(2text(tg)alpha)/(1-text(tg)^2alpha)` | |
Формулы суммы и разности аргументов
`sin(alpha+-beta)=sinalphacosbeta+-cosalphasinbeta` |
`cos(alpha+-beta)=cosalphacosbeta∓sinalphasinbeta` |
`text(tg)(alpha+-beta)=(text(tg)alpha+-text(tg)beta)/(1∓text(tg)alpha*text(tg)beta)` |
Преобразование суммы и разности в произведение
`sinalpha+-sinbeta=2sin((alpha+-beta)/2)cos((alpha∓beta)/2)` |
`cosalpha+cosbeta=2cos((alpha+beta)/2)cos((alpha-beta)/2)` |
`cosalpha-cosbeta=-2sin((alpha+beta)/2)sin((alpha-beta)/2)` |
Формулы половинного аргумента
`sin(alpha/2)=+-sqrt((1-cosalpha)/2)` |
`cos(alpha/2)=+-sqrt((1+cosalpha)/2)` |
`text(tg)(alpha/2)=+-sqrt((1-cosalpha)/(1+cosalpha))=(1-cosalpha)/sinalpha=sinalpha/(1+cosalpha)` | |
Обратные тригонометрические функции
`sinx=A` | `x=(-1)^k*arcsinA + pik` или `{(x=arcsinA + 2pik),(x=pi-arcsinA+2pik):}` | `kinZZ` |
`cosx=A` | `x=±arccosA + 2pik` | `kinZZ` |
`tg x=A` | `x=text(arctg) A + pik` | `kinZZ` |
`ctg x=A` | `x=text(arcctg) A + pik` | `kinZZ` |
Также некоторые тригонометрические соотношения смотрите в разделе Геометрия.
Производные
Основные правила дифференцирования
`(u+-v)'=u'+-v'` | |
`(u*v)'=u'*v+u*v'` | |
`(u/v)^'=(u'*v-u*v')/v^2` | |
`[f(g(x))]'=f'(g(x))*g'(x)` |
Уравнение касательной
`y=f(x_0)+f'(x_0)*(x-x_0)` |
|
Производные элементарных функций
`C'=0` | `(C*x)'=C` | |
`(x^m)'=mx^(m-1)` | `(sqrtx)'=1/(2sqrtx)` | |
`(1/x)^'=-1/x^2` | |
`(e^x)'=e^x` | `(lnx)'=1/x` | |
`(a^x)'=a^x*lna` | `(log_ax)'=1/(xlna)` |
`(sinx)'=cosx` | `(cosx)'=-sinx` | |
`(text(tg)x)'=1/cos^2x` | `(text(ctg)x)'=-1/sin^2x` | |
`(arcsinx)'=1/sqrt(1-x^2)` | `(arccosx)'=-1/sqrt(1-x^2)` |
`(text(arctg))=1/(1+x^2)'` | `(text(arcctg))'=-1/(1+x^2)` | |
Также некоторые сведения про производные смотрите в описании задач
№14 (база),
№7 (профиль),
№12 (профиль).
Первообразные
Первообразная: | `F'(x)=f(x)` | | | |
Неопределённый интеграл: | `intf(x)dx=F(x)+C` | | |
Определённый интеграл (формула Ньютона-Лейбница): | `int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)` | |
Таблица первообразных
`f(x)` | `F(x)` | | `f(x)` | `F(x)` |
`a` | `ax` | | | |
`x^n` | `x^(n+1)/(n+1)` | | `1/x` | `lnx` |
`e^x` | `e^x` | | `a^x` | `a^x/lna` |
`sinx` | `-cosx` | | `cosx` | `sinx` |
`1/cos^2x` | `text(tg)x` | | `1/sin^2x` | `-text(ctg)x` |
`1/(x^2+a^2)` | `1/atext(arctg)x/a` | | `1/(x^2-a^2)` | `1/(2a)ln|(x-a)/(x+a)|` |
`1/sqrt(a^2-x^2)` | `text(arcsin)x/a` | | `1/sqrt(x^2+a)` | `ln|x+sqrt(x^2+a)|` |
Геометрия
Планиметрия (2D)
Тригонометрия: | `sinA=a/c` `cosA=b/c` | | |
| `text(tg)A=sinA/cosA=a/b` | |
Теорема косинусов: | `c^2=a^2+b^2-2ab*cosC` | | |
Теорема синусов: | `a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R` |
Уравнение окружности: | `(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2` |
Соотношение вписанного и центрального углов: | `beta=alpha/2=(uualpha)/2` | | |
Описанная окружность, треугольник: | `R=(abc)/(4S)` | |
Вписанная окружность, треугольник: | `r=S/p` | |
Описанная окружность, четырёхугольник: | `alpha+gamma=beta+delta=180^circ` | | |
Вписанная окружность, четырёхугольник: | `a+c=b+d` | | |
Свойство биссектрисы: | `a/x=b/y` | | |
Теорема о пересекающихся хордах: | `AM*BM=CM*DM` | |
Теорема об угле между касательной и хордой: | `alpha=1/2uuAB` | | |
Теорема о касательной и секущей: | `CM^2=AM*BM` | | |
Теорема об отрезках касательных: | `AB=AC` | | |
Площади фигур:
Окружность: | `S=pir^2` | |
Треугольник: | `S=1/2ah` | |
Параллелограмм: | `S=ah` | |
Четырёхугольник: | `S=1/2d_1d_2sinvarphi` |
Трапеция: | `S=(a+b)/2*h` | |
Стереометрия (3D)
Призма: | `V=S_(осн)h` | |
Пирамида: | `V=1/3S_(осн)h` | |
Конус: | `V=1/3S_(осн)h` | |
| `S_(бок)=pirl` | |
Цилиндр: | `V=pir^2h` |
| `S_(бок)=2pirh` |
Шар: | `V=4/3pir^3` | |
| `S=4pir^2` | |