Задача №13 (экономическая) - профильный ЕГЭ-2027 по математике

ЕГЭ-2027 по математике, профильный уровень

Задача №13, экономическая

Дифференцированный платёж

Стандартное начало условия:

Берём кредит в размере `S` рублей на `n` месяцев (или лет).

• 1-го числа каждого месяца долг возрастает на `color(green)(r%)`.
• со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга.
• 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Основная идея решения:

1. каждый месяц (15-го числа) долг должен уменьшаться на одну и ту же величину, т.е. на `1/n` часть изначального долга, т.е. на `color(blue)(S/n)`
2. каждый месяц (1-го числа) банк увеличивает остаток долга на `color(green)(r%)`.
3. каждый месяц (2-14-го числа) клиент выплачивает начисленные проценты (пункт 2) и ежемесячную часть долга (пункт 1).

Составляем таблицу платежей по месяцам:

Взятие кредита:
15 декабря:	Долг = `S` рублей.
1-й месяц:
1 января	Банк начисляет проценты = `color(green)(S*r)`
	Долг = `S + color(green)(S*r)`
2-14 января	Платим `color(green)(S*r) + color(blue)(S/n)`
	Долг = `[S+color(green)(S*r)]` `– [ color(green)(S*r) + color(blue)(S/n) ] = S-color(blue)(S/n) = (n-1)/n*S`
2-й месяц:
1 февраля	Банк начисляет проценты = `color(green)(obrace((n-1)/n*S)^("Предыд.долг")*r)`
	Долг = `(n-1)/n*S+` `color(green)((n-1)/n*S*r)`
2-14 февраля	Платим `color(green)((n-1)/n*S*r)+` `color(blue)(S/n)`
	Долг = `[(n-1)/n*S +` `color(green)((n-1)/n*S*r)]–` `[color(green)((n-1)/n*S*r)+` `color(blue)(S/n)]=` `(n-1)/n*S - color(blue)(S/n)=` `(n-2)/n*S`
3-й месяц:
1 марта	Банк начисляет проценты = `color(green)((n-2)/n*S*r)`
	Долг = `(n-2)/n*S + color(green)((n-2)/n*S*r)`
2-14 марта	Платим `color(green)((n-2)/n*S*r) + color(blue)(S/n)`
	Долг = `[(n-2)/n*S + color(green)((n-2)/n*S*r)] – [color(green)((n-2)/n*S*r) + color(blue)(S/n)] = (n-2)/n*S - color(blue)(S/n) = (n-3)/n*S`
(n-1)-й месяц:	Остаток долга = `2/n*S`
1 мартобря	Банк начисляет проценты = `color(green)(2/n*S*r)`
	Долг = `2/n*S + color(green)(2/n*S*r)`
2-14 мартобря	Платим `color(green)(2/n*S*r) + color(blue)(S/n)`
	Долг = `[2/n*S + color(green)(2/n*S*r)] – [color(green)(2/n*S*r) + color(blue)(S/n)] = 2/n*S - color(blue)(S/n) = 1/n*S`
n-й месяц:	Остаток долга = `1/n*S`
1 апребря	Банк начисляет проценты = `color(green)(1/n*S*r)`
	Долг = `1/n*S + color(green)(1/n*S*r)`
2-14 апребря	Платим `color(green)(1/n*S*r) + color(blue)(S/n)`
	Долг = `[1/n*S + color(green)(1/n*S*r)] – [color(green)(1/n*S*r) + color(blue)(S/n)] = 1/n*S - color(blue)(S/n) = 0`

Отвечаем на вопрос задачи:

Например, (вариант №8): "Какую сумму нужно вернуть банку в течение первого года кредитования?"
Посчитаем сумму выплат за все первые 12 месяцев, т.е. строчки "Платим" из таблицы выше за месяцы с 1 по 12:
`ubrace([color(green)(S*r)+color(blue)(S/n)])_("1-й месяц") + ubrace([color(green)((n-1)/n*S*r)+color(blue)(S/n)])_("2-й месяц") + ubrace([color(green)((n-2)/n*S*r)+color(blue)(S/n)])_("3-й месяц") + ... + ubrace([color(green)((n-10)/n*S*r)+color(blue)(S/n)])_("11-й месяц") + ubrace([color(green)((n-11)/n*S*r)+color(blue)(S/n)])_("12-й месяц")=`
`=ubrace((color(blue)(S/n+S/n+...+S/n)))_("12 слагаемых") + ubrace((color(green)(S*r+(n-1)/n*S*r+(n-2)/n*S*r+...+(n-10)/n*S*r+(n-11)/n*S*r)))_("12 слагаемых")=`
`=n*color(blue)(S/n)+color(green)((S*r)/n)*ubrace([n+(n-1)+(n-2)+...+(n-10)+(n-11)])_("арифм. прогр.")=`
`=color(blue)(S)+color(green)((S*r)/n)*((n+(n-11))*12)/2 = color(blue)(S)+color(green)((S*r)/n)*(2n-11)*6 = S*(1+6*(2n-11)*r/n)`


Или, например, (вариант №7): "Известно, что общаяя сумма выплат после полного погашения кредита на 30% больше суммы, взятой в кредит. Найдите `color(green)(r)`".
Посчитаем сумму выплат за все `n` месяцев, т.е. все строчки "Платим" из таблицы выше:
`ubrace([color(green)(S*r)+color(blue)(S/n)])_("1-й месяц") + ubrace([color(green)((n-1)/n*S*r)+color(blue)(S/n)])_("2-й месяц") + ubrace([color(green)((n-2)/n*S*r)+color(blue)(S/n)])_("3-й месяц") + ... + ubrace([color(green)(2/n*S*r)+color(blue)(S/n)])_("(n-1)-й месяц") + ubrace([color(green)(1/n*S*r)+color(blue)(S/n)])_("n-й месяц")=`
`=ubrace((color(blue)(S/n+S/n+...+S/n)))_("n слагаемых") + ubrace((color(green)(S*r+(n-1)/n*S*r+(n-2)/n*S*r+...+2/n*S*r+1/n*S*r)))_("n слагаемых")=`
`=n*color(blue)(S/n)+color(green)((S*r)/n)*ubrace([n+(n-1)+(n-2)+...+2+1])_("арифм. прогр.")=`
`=color(blue)(S)+color(green)((S*r)/n)*((n+1)*n)/2 = color(blue)(S)+color(green)(S*r)*(n+1)/2 = S*(1+r*(n+1)/2)`
Изначально была взята сумма `S`, затем, по условию, она выросла на 30%, т.е. стала равной `S+0,3*S=1,3*S`
Таким образом:
`S*(1+r*(n+1)/2) = 1,3*S`
`1+r*(n+1)/2 = 1,3`
`r*(n+1)/2 = 0,3`
`r = (0,6)/(n+1)`